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複素多様体[ふくそたようたい]
微分幾何学で複素多様体（ふくそたようたい、）とは、多様体上の各点の開近傍が、C''n'' の中の単位開円板への正則な座標変換を持つ多様体のことを言う〔C''n'' に代り、モデル空間としてC''n'' の中の単位開円板を使う必要がある。複素多様体の場合は、実（解析）多様体の場合とは異なり、これらは同型ではないからである。〕。座標変換が正則である場合には、C''n'' の中で、コーシー・リーマンの方程式の制約を受ける。
複素多様体という言葉は、上の意味で可積分複素多様体として特徴づけることができる。
== 複素多様体の意味 ==
正則函数は実数の上での滑らかな函数よりも強い条件を満たすから、微分可能多様体の理論と複素多様体の理論とでは大きな違いがある。また、コンパクトな複素多様体は、微分可能多様体よりも代数多様体に非常に近い多様体である。
例えば、により、すべての ''n''-次元微分可能多様体はR2''n'' の中へ微分可能部分多様体として埋め込まれるが、複素多様体がC''n'' の中へ正則に埋め込まれるようなことは『まれ』である。例えば、コンパクトな連結多様体 ''M'' を考えてみると、''M'' 上の任意の正則函数は、リウヴィルの定理により局所定数となる。ここで、もしも C''n'' の中への ''M'' の正則な埋め込みがあったとすると、C''n'' の座標函数は ''M'' の上の定数ではない正則函数に限定されてしまう。これは、''M'' が一点の場合を除き、コンパクト性と矛盾する。C''n'' へ埋め込むことができる複素多様体のことをシュタイン多様体〔シュタイン多様体は普通は複数変数の場合を言い。1変数の場合と違い、複数変数の場合はさらに制限が厳しくなり、様子が異なる。多変数複素関数の項目も参照のこと。〕と言い、たとえば微分可能な複素アフィン代数多様体などを含む、非常に特別な多様体のクラスとなる。
複素多様体の分類は、微分可能多様体の分類よりも微妙である。例えば、次元が4以外では、与えられた位相多様体は高々有限個のを持つのに対して、複素構造を持った位相多様体は非可算個の複素構造を持つことができる場合もよくある。リーマン面は複素構造を持った2次元の多様体のことを言い、種数で分類され、この現象の重要な例となる。与えられた向きづけ可能な曲面上の複素構造の集合は、双正則同値を同一視して、モジュライ空間と呼ばれる複素代数多様体を形成する。この構造は現在、活発に研究されている領域である。
座標変換は双正則であるので、複素多様体は微分可能であり、標準的に向きづけられている（複素多様体であれば、向き付け可能である：Cn （の部分集合）への双正則写像は、向きづけを保存する。)
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